Question

已知函數f（x）=ax²+（b-8）x-a-ab，當，x∈（-3，2）時，f（x）＞0；當x∈（-∞，-3）∪（2，+∞）時，f（x）＜0
（1）求f（x）在[-1，1]上的值域；
（2）c為何值時，ax²+bx+c≤0的解集為R．

Answer 1

分析：由題意判斷函數的開口方向，方程的根求出a、b的值，推出函數的表達式，
（1）通過二次函數的對稱軸，判斷函數的單調性，求出函數的最值，得到函數的值域．
（2）利用函數的表達式，通過判別式的取值范圍求出c的范圍即可．

解答：解：由題意可知函數f（x）的圖象是開口向下，交x軸于點A（-3，0）和B（2，0）的拋物線，
對稱軸方程為x=-

1

2

那么有

0=a(-3)2+(b-8)×(-3)-a-ab 0=a×22+(b-8)×2-a-ab

 …（3分）
解得

a=0 b=8

或

a=-3 b=5

              …（5分）
經檢驗知

a=0 b=8

不符合題意，舍去
所以  f（x）=-3x²-3x+18              …（6分）
（1）由題意知，函數在[-1，-

1

2

]內為減函數，在[-

1

2

，1]內為增函數
故f（-

1

2

）=

75

4

，f（1）=12．
所以f（x）在[-1，1]內的值域是[12，

75

4

]     …（9分）
（2）令g（x）=-3x²+5x+c
要使g（x）≤0的解集為R，則需方程-3x²+5x+c=0的根的判別式△≤0
即，25+12c≤0，解得c≤-

25

12

              …（12分）

點評：本題考查二次函數的圖象與性質，函數的解析式的求法，單調性的應用，二次函數在閉區間上的最值的求法，考查計算能力．