Question

某汽車隊今年（1999年）初用98萬元購進一輛大客車，并投入營運，第一年需繳各種費用1 2萬元，從第二年開始包括維修費內，每年所繳費用均比上一年增加4萬元，該車投入營運后每年的票款收入為50萬元，設營運n年該車的盈利額為y（萬元）．
（1）求出y表示為n的函數關系式；
（2）從哪一年開始，該汽車開始獲利（即盈利為正值）？
（3）營運若干年后，對該汽車的處理方案有兩種：①當年平均盈利達到最大值時，以30萬元的價格處理該車；②當盈利額達到最大值時，以12萬元的價格處理該車；問用哪種方案處理該車較為合算？為什么？

Answer 1

分析：（1）根據題意知該車的盈利額為y=n年的票款收入-n年的維修費-98可得y與n的關系式；
（2）因為y是關于n的開口向下的二次函數，令y=0求出與x軸的交點橫坐標，利用圖象得到y大于0時n取值范圍，根據n取正整數得到即可；
（3）求出

y

n

利用基本不等式求出年平均盈利的最大值，算出收益，再利用二次函數求最值求出總營業額的最大值，算出收益，比較哪個大且時間短可得哪個合算．

解答：解：（1）由題意知：y=50n-[12n+

n(n-1)

2

×4]-98，化簡得y=-2n²+40n-98；
（2）令y=0，解得x=10±

51

，由于y時開口向下的拋物線，根據圖象可知10-

51

＜n＜10+

51

時，y的值為正
∵n∈N，∴3≤n≤17，故從2001年開始獲利；
（3）①

y

n

=-2n+40-

98

n

≤12，當且僅當n=7，即到2005年年平均盈利達到最大值，共獲利12×7+30=114萬元．
②y=-2（n-10）²+102，當n=10時，y_max=102，即到2008年共獲利102+12=114萬元，故兩種方案獲利相同，但方案②的時間長，所以用方案①處理合算．

點評：考查學生根據實際問題選擇函數關系的能力，利用二次函數、一次函數圖象及性質解決實際問題的能力，以及利用基本不等式求最值的能力．