Question

已知f（x）=x²+bx+c為偶函數，曲線y=f（x）過點（2，5），g（x）=（x+a）f（x）．
（Ⅰ）求實數b、c的值；
（Ⅱ）若曲線y=g（x）有斜率為0的切線，求實數a的取值范圍；
（Ⅲ）若當x=-1時函數y=g（x）取得極值，確定y=g（x）的單調區間和極值．

Answer 1

分析：（I）利用偶函數的定義可得b=0，利用函數過點（2，5），可得c=1；
（II）先求函數g（x）的導函數g′（x），再將曲線y=g（x）有斜率為0的切線問題轉化為g′（0）=0有實數解問題，最后利用一元二次方程根的性質求得a的范圍即可；
（III）先利用已知極值點計算a的值，進而解不等式g′（x）＞0得函數的單調遞增區間，g′（x）＜0得函數的單調遞減區間，再由極值定義計算函數的極大值和極小值即可

解答：解：（Ⅰ）∵f（x）=x²+bx+c為偶函數，故f（-x）=f（x）即有
（-x）²+b（-x）+c=x²+bx+c 解得b=0
又曲線y=f（x）過點（2，5），得2²+c=5，有c=1
∴b=0，c=1
（Ⅱ）∵g（x）=（x+a）f（x）=x³+ax²+x+a．從而g′（x）=3x²+2ax+1，
∵曲線y=g（x）有斜率為0的切線，故有g′（x）=0有實數解．即3x²+2ax+1=0有實數解．
此時有△=4a²-12≥0解得 a∈（-∞，-

3

]∪[

3

，+∞）   
所以實數a的取值范圍：a∈（-∞，-

3

]∪[

3

，+∞）
（Ⅲ）∵x=-1時函數y=g（x）取得極值，故有g′（-1）=0即3-2a+1=0，解得a=2，
∴g（x）=x³+2x²+x+2．
又g′（x）=3x²+4x+1=（3x+1）（x+1）令g′（x）=0，得x₁=-1，x₂=-

1

3

當x∈（-∞，-1）時，g′（x）＞0，故g（x）在（-∞，-1）上為增函數
當x∈（-1，-

1

3

）時，g′（x）＜0，故g（x）在（-1，-

1

3

）上為減函數
當x∈（-

1

3

，+∞）時，g′（x）＞0，故g（x）在（-

1

3

，+∞）上為增函數
函數y=g（x）的極大值點為-1，極大值為g（-1）=2，極小值點為-

1

3

，極小值為g（-

1

3

）=

50

27

點評：本題主要考查了函數的奇偶性及其應用，導數的幾何意義及其應用，導數在函數的單調性和極值中的應用，轉化化歸的思想方法