Question

【題目】設橢圓的左焦點為F，左頂點為A，已知，其中O為坐標原點，e為橢圓的離心率．

求橢圓C的方程；

是否存在斜率為的直線l，使得當直線l與橢圓C有兩個不同交點M，N時，能在直線上找到一點P，在橢圓C上找到一點Q，滿足？若存在，求出直線l的方程；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）（2）不存在

【解析】

（1）由整理得：,再由橢圓的簡單性質列方程求解。

（2）聯立直線與橢圓方程，表示出及，利用得到四點坐標之間的關系，從而表示出點Q的坐標，由橢圓方程即可判斷是否存在點Q滿足題意。

解：（1）由題意知：，

又因為，,解得

故橢圓的方程為

（2）橢圓上不存在這樣的點.

設直線的方程為,

聯立，得,

，得.

設，則，.

由知為平行四邊形,設為的中點,則它也是的中點.

于是設,,則,

即，可得.因為,所以.

若在橢圓上，則，矛盾.

因此,不存在滿足條件的點．