Question

已知f(x)=sin(2x+

π

3

)+sin(2x-

π

3

)+2cos2x，x∈R
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）求f（x）的單調(diào)減區(qū)間；
（3）若函數(shù)g（x）=f（x）-m在區(qū)間[-

π

4

，

π

4

]上沒(méi)有零點(diǎn)，求m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）函數(shù)解析式利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值化簡(jiǎn)，整理后利用兩角和與差得正弦函數(shù)公式化為一個(gè)角的正弦函數(shù)，找出ω的值即可求出函數(shù)的最小正周期；
（2）根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為[

π

2

+2kπ，

3π

2

+2kπ]，k∈Z，求出x的范圍即可；
（3）作出函數(shù)y=f（x）在[-

π

4

，

π

4

]上的圖象，函數(shù)g（x）無(wú)零點(diǎn)，即方程f（x）-m=0無(wú)解，亦即：函數(shù)y=f（x）與y=m在x∈[-

π

4

，

π

4

]上無(wú)交點(diǎn)從圖象可看出f（x）在[-

π

4

，

π

4

]上的值域?yàn)閇0，

2

+1]，利用圖象即可求出m的范圍．

解答：解：（1）f（x）=

1

2

sin2x+

3

2

cos2x+

1

2

sin2x-

3

2

cos2x=sin2x+cos2x+1=

2

sin（2x+

π

4

）+1，
∵ω=2，∴T=π；
（2）由

π

2

+2kπ≤2x+

π

4

≤

3π

2

+2kπ，k∈Z得：

π

8

+kπ≤x≤

5π

8

+kπ，k∈Z，
∴f（x）的單調(diào)減區(qū)間為[kπ+

π

8

，kπ+

5π

8

]，k∈Z；
（3）作出函數(shù)y=f（x）在[-

π

4

，

π

4

]上的圖象如下：

函數(shù)g（x）無(wú)零點(diǎn)，即方程f（x）-m=0無(wú)解，
亦即：函數(shù)y=f（x）與y=m在x∈[-

π

4

，

π

4

]上無(wú)交點(diǎn)從圖象可看出f（x）在[-

π

4

，

π

4

]上的值域?yàn)閇0，

2

+1]，
則m＞

2

+1或m＜0．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了兩角和與差的正弦函數(shù)公式，正弦函數(shù)的單調(diào)性，以及正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，熟練掌握公式是解本題的關(guān)鍵．