Question

已知a＞0，命題p：?x＞，x+

a

x

≥2 恒成立；命題q：“直線x+y-a=0與圓（x-1）²+y²=1有公共點”，若命題p∧q為真命題，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：利用均值不等式和直線與圓有公共點的條件求得命題p、q為真命題時a的范圍，根據復合命題真值表判斷：命題p∧q為真命題，則p、q都為真命題，由此求交集可得答案．

解答：解：當命題p為真命題時：對?x＞0，∵x+

a

x

≥2

a

，（a＞0），
∴要使x+

a

x

≥2恒成立，應有2

a

≥2，∴a≥1；
當命題q為真命題時     由

x+y-a=0 (x-1)2+y2=1

  則2x²-2（a+1）x+a²=0
∴△=4（a+1）²-8a²≥0⇒1-

2

≤a≤1+

2

．
∵命題p∧q為真命題，則p、q都為真命題，
綜上a的取值范圍是[1，1+

2

]．

點評：本題借助考查復合命題的真假判斷，考查了直線與圓的位置關系及均值不等式的應用，關鍵是求命題p為真時，a的取值范圍，同時要熟練掌握復合命題真值表．