Question

已知F₁，F₂是橢圓

x2

k+2

+

y2

k+1

=1的左、右焦點，過F₁的直線交橢圓于A，B兩點，若△ABF₂的周長為8，則k的值為

 

．

Answer 1

分析：根據題意算出k＞-1，可得橢圓的長半軸a=

k+2

．由橢圓的定義算出△ABF₂的周長為4a=8，解出a=

k+2

=2，解之可得k的值．

解答：解：∵方程

x2

k+2

+

y2

k+1

=1表示焦點在x軸上的橢圓，
∴k+2＞k+1＞0，可得k＞-1．
因此a²=k+2，解得a=

k+2

．
根據橢圓的定義，得|AF₁|+|AF₂|=|BF₁|+|BF₂|=2a，
∴|AF₁|+|BF₁|+|AF₂|+|BF₂|=4a．
∵線段AB經過左焦點F₁，△ABF₂的周長為8，
∴|AB|+|AF₂|+|BF₂|=8，即|AF₁|+|BF₁|+|AF₂|+|BF₂|=4a=8，
解得a=

k+2

=2，可得k=2．
故答案為：2

點評：本題給出經過橢圓的左焦點的弦AB，在已知△ABF₂的周長為8的情況下求橢圓的方程．著重考查了橢圓的定義、標準方程和簡單幾何性質等知識，屬于中檔題．