Question

已知，且函數(shù)y=f（x）-2x恰有3個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a 的取值范圍是（ ）
A．[-4，0]
B．[-8，+∞）
C．[-4，+∞）
D．（0，+∞）

Answer 1

【答案】分析：當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）=f（x-2），可得當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）在[-2，0）重復(fù)的周期函數(shù)，根據(jù)x∈[-2，0）時(shí)，y=a-x²-4x=4+a-（x+2）²，對(duì)稱軸x=-2，頂點(diǎn)（-2，4+a），進(jìn)而可進(jìn)行分類求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
解答：解：因?yàn)楫?dāng)x≥0的時(shí)候，f（x）=f（x-2），
當(dāng)x∈[0，2）時(shí)，x-2∈[-2，0），此時(shí)f（x）=f（x-2）=a-（x-2）²-4（x-2）
當(dāng)x∈[2，4）時(shí)，x-4∈[-2，0），此時(shí)f（x）=f（x-2）=f（x-4）=a-（x-4）²-4（x-4）
依此類推，f（x）在x＜0時(shí)為二次函數(shù)a-x²-4x=-（x+2）²+a+4，
在x≥0上為周期為2的函數(shù)，重復(fù)部分為a-x²-4x=-（x+2）²+a+4在區(qū)間[-2，0）上的部分．
二次函數(shù)a-x²-4x=-（x+2）²+a+4頂點(diǎn)為（-2，a+4），
y=f（x）-2x恰有3個(gè)不同的零點(diǎn)，即f（x）與y=2x恰有3個(gè)不同的交點(diǎn)，
需滿足f（x）與y=2x在x＜0時(shí)有兩個(gè)交點(diǎn)且0≤a+4≤4或f（x）與y=2x在x＜0時(shí)有兩個(gè)交點(diǎn)且a+4＞4
∴-4≤a≤0或a＞0
綜上可得a≥-4
故選C
點(diǎn)評(píng)：本題重點(diǎn)考查函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系，考查函數(shù)的周期性，有一定的難度．