Question

【題目】已知數列{an}滿足：a1=1，，記.

（1）求b1，b2的值；

（2）證明：數列{bn}是等比數列；

（3）求數列{an}的通項公式.

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析；（3）an.

【解析】

（1）根據遞推關系式，求得的值.

（2）根據遞推關系式，推導出，由此證得是等比數列.

（3）由（1）求得數列通項公式，由此求得的表達式，進而的表達式，從而求得數列的通項公式.

（1）a1=1，，記.

b1=a2a1+1﹣1.

a3=a2﹣44.

b2=a4a3+3﹣1a3+22.

（2）bn=a2na2n﹣1+2n﹣2，

n≥2時，a2n﹣1=a2n﹣2﹣2（2n﹣2）=a2n﹣2﹣4n+4.

∴bna2n﹣1+2n﹣2（a2n﹣2﹣4n+4）+2n﹣2a2n﹣2bn﹣1，

n=1時，b2b1.

∴數列{bn}是等比數列，首項與公比都為.

（3）解：由（2）可得：bn.

∴a2n.

又a2na2n﹣1+2n﹣2.

解得：a2n﹣14﹣4n.

綜上可得：數列{an}的通項公式：an，k∈N*.