Question

給出下列四個命題，其中錯誤的命題有（ ）個．
（1）函數f（x）=e^x-2的零點落在區間（0，1）內；
（2）函數y=sin2x+cos2x在x上的單調遞增區間是[0，]；
（3）設A、B、C，且sinA-sinC=sinB，cosA+cosC=cosB，則B-A 等于-；
（4）方程sin²x+2sinx+a=0有解，則a的取值范圍是[-3，1]．
A．0
B．1
C．2
D．3

Answer 1

【答案】分析：A中由根的存在性定理只需判斷f（0）f（1）的符號；B中函數y=sin2x+cos2x=sin（2x+），再利用三角函數的圖象進行判斷；C中因為SinA-SinC=SinB，所以sinc=sina-sinb，那么（sinC）²=（sinA-sinB）²=（sinA）²-2sinA•sinB+（sinB）²，因為CosA+CosC=CoSB，所以cosC=cosB-cosA． 同理（cosC）²=（cosB）²-2cosA•cosB+（cosA）²，由此利用三角函知識進行求解；D中，方程sin²x+2sinx+a=0在x∈R上有解，可以轉化為a=-sin²x-2sinx，x∈R．故令t=sinx∈[-1，1]，則方程轉化為a=-t²-2t，t∈[-1，1]，借助二次函數的性質進行求解．
解答：解：A中f（0）f（1）=-1（e-2）＜0，
由根的存在性定理函數函數f（x）=e^x-2的零點落在區間（0，1）內；
B中函數y=sin2x+cos2x=sin（2x+），它在x上的單調遞增區間是[0，]；
C中因為SinA-SinC=SinB，所以sinc=sina-sinb，
那么（sinC）²=（sinA-sinB）²=（sinA）²-2sinA•sinB+（sinB）²，
∵CosA+CosC=CoSB，
∴cosC=cosB-cosA．
同理（cosC）²=（cosB）²-2cosA•cosB+（cosA）²，
所以相加得1=1-2（cosA•cosB+sinA•sinB）+1，
公式cos（A-B）=cosA•cosB+sinA•sinB，
∴所以相加得1=1-2cos（A-B）+1，
2cos（A-B）=1
所以cos（A-B）=．
因為A，B，C∈（0，），
所以0＜A-B＜，
因此A-B=，
則B-A=-．
D中，方程sin²x+2sinx+a=0在x∈R上有解，可以轉化為a=-sin²x-2sinx，x∈R
故令t=sinx∈[-1，1]，則方程轉化為
a=-t²-2t，t∈[-1，1]，
此二次函數的對稱軸為t=-1，故 a=a=-t²-2t在[-1，1]上是減函數，
∴-1≤t≤3，即a的取值范圍是[-1，1]．
綜上所述，D不正確．
故選B．
點評：本題考查函數的零點問題、三角函數的性質和運用、角的求法和參數取值范圍的考查，考查知識點較多，但難度不大．