Question

已知圓C的圓心為C（m，0），m＜3，半徑為，圓C與離心率e＞的橢圓（a＞b＞0）的其中一個公共點為A（3，l），F₁，F₂分別是橢圓的左、右焦點．
（I）求圓C的標準方程；
（II）若點P的坐標為（4，4），試探究直線PF₁與圓C能否相切？若能，設直線PF₁與橢圓E相交于A，B兩點，求△ABF₂的面積；若不能，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由已知可設圓C的方程，把點A的坐標代入圓C的方程，可求m，進而可求圓的方程
（Ⅱ）設直線PF₁的方程，由直線PF₁與圓C相切的性質，利用點到直線的距離公式可求k，進而求出橢圓的焦點，利用橢圓的定義得：2a=AF₁+AF₂求出a，結合e可求c，即可求出橢圓方程，直線PF₁的方程，聯立方程，結合方程的根與系數關系代入=4|y₁-y₂|=4可求
解答：解：（Ⅰ）由已知可設圓C的方程為（x-m）²+y²=5（m＜3）
將點A的坐標代入圓C的方程，得（3-m）²+1=5，
解得m=1或m=5．
∵m＜3，
∴m=1．
∴圓C的方程為（x-1）²+y²=5．…（4分）
（Ⅱ）直線PF₁能與圓C相切，
依題意設直線PF₁的方程為y=k（x-4）+4，即kx-y-4k+4=0
若直線PF₁與圓C相切，則．
∴4k²-24k+11=0，解得k=或k=．…（7分）
當k=時，直線PF₁與x軸的交點橫坐標為，不合題意，舍去．
當k=時，直線PF₁與x軸的交點橫坐標為-4，
∴c=4，，F₁（-4，0），F₂（4，0）
∴由橢圓的定義得：2a=AF₁+AF₂==
∴a=3，即a²=18，
∴e==，
故直線PF₁能與圓C相切．…（10分）
直線PF₁的方程為x-2y+4=0，橢圓E的方程為．
把直線方程代入橢圓方程并化簡得，13y²-16y-2=0．
故=4|y₁-y₂|=4
==．…（12分）
點評：本題 主要考查了圓的標準方程的求解，直線與圓相切性質的應用及橢圓定義的應用，方程的根與系數關系的應用，試題具有一定綜合性