Question

已知△ABC的三邊長|CB|，|AB|，|CA|成等差數列，若點A，B的坐標分別為（-1，0），（1，0）．
（Ⅰ）求頂點C的軌跡W的方程；
（Ⅱ）線段CA的延長線交頂點C的軌跡W于點D，當|CB|=

3

2

且點C在x軸上方時，求線段CD垂直平分線l的方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由|CB|，|AB|，|CA|成等差數列，可得|CB|+|CA|=2•|AB|=4，故C點軌跡為以A，B兩點為焦點的橢圓，故可用定義法求軌跡方程．
（Ⅱ）由|CB|=

3

2

可求出C點的坐標，從而可寫出直線CA的方程，與橢圓方程聯立，求出D點坐標，用中點坐標公式求出CD重點坐標，再求l方程即可．

解答：解：（Ⅰ）因為|CB|，|AB|，|CA|成等差數列，點A，B的坐標分別為（-1，0），（1，0）
所以|CB|+|CA|=2•|AB|=4，且4＞|AB|，
由橢圓的定義可知點C的軌跡是以A，B為焦點，長軸長為4的
橢圓（去掉長軸的端點），
所以a=2，c=1，b=

3

．
故頂點C的軌跡W方程為

x2

4

+

y2

3

=1 (y≠0)．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得|CA|=4-|CB|=

5

2

．因為|AB|=2，|CB|=

3

2

，
所以|CA|²=|AB|²+|CB|²．則CB⊥AB．
所以直線CD的斜率為

|CB|

|AB|

=

3

4

．
于是直線CD方程為y=

3

4

(x+1)．
由

y= 3 4 (x+1) x2 4 + y2 3 =1

得7x²+6x-13=0．設C，D兩點坐標分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂）
則x1+x2=-

6

7

，y1+y2=

3

4

(x1+x2+2)=

6

7

．
線段CD中點E的坐標為(-

3

7

，

3

7

)，
故CD垂直平分線l的方程為y-

3

7

=-

4

3

(x+

3

7

)，即為28x+21y+3=0．

點評：本題考查定義法求軌跡方程、直線和橢圓相交問題，難度適中，很好的考查了基本運算能力．