Question

如圖，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面是等腰直角三角形，∠ACB=90°，側棱AA₁=2，D、E分別是CC₁與A₁B的中點，點E在平面ABD上的射影是△ABD的垂心G，
（Ⅰ）求A₁B與平面ABD所成角的大小（結果用反三角函數值表示）；
（Ⅱ）求點A₁到平面AED的距離。

Answer 1

解：（Ⅰ）連結BG，則BG是BE在ABD的射影， 即∠EBG是A1B與平面ABD所成的角， 設F為AB的中點，連結EF、FC， ∵D，E分別是CC1與A1B的中點， 又DC⊥平面ABC， ∴CDEF為矩形，連接DE，G是△ADB的重心， ∴GE=DF， 在直角三角形EFD中，， ∵EF=1，∴， 于是， ∵， ∴， ∴， ∴A1B與平面ABD所成角是。 （Ⅱ）連結A1D，有， ， 又EF∩AB=F， ∴， 設A1到平面AED的距離為h，則， 又 ， ∴， 即A1到平面AED的距離。