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已知3sinβ=sin(2α+β),那么tan(α+β)•cotα的值為(  )
分析:把已知等式的左邊中的角β變為(α+β)-α,右邊中的角2α+β變為(α+β)+α,然后左右兩邊分別利用兩角和與差的正弦函數公式化簡,整理后,在等號兩邊同時除以cos(α+β)sinα,利用同角三角函數間的基本關系弦化切,即可得到tan(α+β)•cotα的值.
解答:解:∵3sinβ=sin(2α+β),
且3sinβ=3sin[(α+β)-α]
=3sin(α+β)cosα-3cos(α+β)sinα,
sin(2α+β)=sin[(α+β)+α]
=sin(α+β)cosα+cos(α+β)sinα,
∴3sin(α+β)cosα-3cos(α+β)sinα=sin(α+β)cosα+cos(α+β)sinα,
即sin(α+β)cosα=2cos(α+β)sinα,
左右兩邊除以cos(α+β)sinα得:tan(α+β)•cotα=2.
故選D
點評:此題考查了兩角和與差的正弦函數公式,以及同角三角函數間的基本關系,靈活變換角度,熟練掌握公式是解本題的關鍵.
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