Question

定義：若平面點集A中的任一點（x，y），總存在正實數r，使得集合，則稱A為一個開集．給出下列集合：①（x，y）|x²+y²=4；②（x，y）|x+y-2＞0；③（x，y）||x+y|≤2；④．其中是開集的是（ ）
A．①④
B．②③
C．②④
D．③④

Answer 1

【答案】分析：根據開集的定義逐個驗證選項，即可得到答案，：①：A={（x，y）|x²+y²=4}表示以原點為圓心，2為半徑的圓，以圓上的點為圓心正實數r為半徑的圓面不可能在該圓上，故不是開集，②是集A中的任一點（x，y），則該點到直線的距離為d，取r=d，滿足條件，故是開集；③在曲線x+y|=2任意取點（x，y），以任意正實數r為半徑的圓面，均不滿足，故該集合不是開集；④該平面點集A中的任一點（x，y），則該點到圓周上的點的最短距離為d，取r=d，則滿足，，故該集合是開集．
解答：解：①：A={（x，y）|x²+y²=4}表示以原點為圓心，2為半徑的圓，
則在該圓上任意取點（x，y），以任意正實數r為半徑的圓面，均不滿足
故①不是開集；
②A={（x，y）|x+y-2＞0}平面點集A中的任一點（x，y），則該點到直線的距離為d，取r=d，則滿足，，故該集合是開集；
③A={（x，y）||x+y|≤2}，在曲線x+y|=2任意取點（x，y），以任意正實數r為半徑的圓面，均不滿足，故該集合不是開集；
④A=表示以點（0，）為圓心，1為半徑除去圓心和圓周的圓面，在該平面點集A中的任一點（x，y），則該點到
圓周上的點的最短距離為d，取r=d，則滿足，，故該集合是開集．
故選C．
點評：此題是基礎題．考查學生的閱讀能力和對新定義的理解，如果一個集合是開集，則該集合表示的區域應該是不含邊界的平面區域．