Question

已知函數f(x)=

x3

3

，g(x)=t

2

3

x-

2

3

t．
（Ⅰ）當t=8時，求函數y=f（x）-g（x）的單調區間；
（Ⅱ）求證：當t＞0時，f（x）≥g（x）對任意正實數x都成立．

Answer 1

分析：（I）先對函數y=f（x）-g（x）進行求導，然后令導函數大于0（或小于0）求出x的范圍，根據g′（x）＞0求得的區間是單調增區間，g′（x）＜0求得的區間是單調減區間，即可得到答案．
（II）令h(x)=f(x)-g(x)=

x3

3

-t

2

3

x+

2

3

t(x＞0)．利用導數求出fh（x）最小值，從而證得當t＞0時，f（x）≥g（x）對任意正實數x都成立．

解答：解：（Ⅰ）當t=8時，g(x)=4x-

16

3

∴y=f(x)-g(x)=

x3

3

-4x+

16

3

y′=x²-4
令y′＞0，得x＜-2或x＞2，令y′＜0，得-2＜x＜2
故所求函數y=f（x）-g（x）的單調遞增區間是（-∞，-2）和（2，+∞），
單調遞減區間是（-2，2）
（Ⅱ）證明：令h(x)=f(x)-g(x)=

x3

3

-t

2

3

x+

2

3

t(x＞0)
由h′(x)=x2-t

2

3

因為t＞0，由h′(x)=x2-t

2

3

=0，得x=t

1

3

當x∈(t

1

3

，+∞)時，h′（x）＞0；當x∈(0，t

1

3

)時，h′（x）＜0
當變化時，y與y′的變化情況如下表：

x	(0，t 1 3 )	t 1 3	(t 1 3 ，+∞)
h′（x）	-	0	+
h（x）	↘	極小值	↗

∴h（x）在（0，+∞）內有唯一的極小值h(t

1

3

)
∴h（x）在（0，+∞）上的最小值h(t

1

3

)=0
故當t＞0時，f（x）≥g（x）對任意正實數x都成立

點評：本小題主要考查函數單調性的應用、利用導數研究函數的單調性、導數在最大值、最小值問題中的應用、導數的應用及不等式的證明等基礎知識，以及綜合運用所學知識分析和解決問題的能力，難度較大．