Question

（2008•武漢模擬）（1）已知函數f(x)=ln(1+x)-

ax

x+1

（其中a為常數），求函數f（x）的單調區間；
（2）求證：不等式

1

ln(x+1)

-

1

x

＜

1

2

在0＜x＜1上恒成立．

Answer 1

分析：（1）先求函數的定義域，然后求出導函數，討論a的正負，再結合導函數的符號可得函數f（x）的單調區間；
（2）用分析法進行證明，要證明：

1

ln(1+x)

-

1

x

＜

1

2

在（0，1）上成立，只需證：

x

2

ln(1+x)+ln(1+x)-x＞0，在（0，1）上恒成立，設g(x)=

x

2

ln(1+x)+ln(1+x)-x，然后利用導數研究函數g（x）在（0，1）上單調性，可得結論．

解答：解：（1）由f(x)=ln(1+x)-a(1-

1

x+1

)知定義域：{x|x＞-1}
對f（x）求導得：f′(x)=

1

1+x

-

a

(x+1)2

=

x+1-a

(x+1)2

①在a≤0時，有x+1-a＞0恒成立．故f（x）＞0
故此時f（x）在（-1，+∞）上單調遞增
②在a＞0時，由f'（x）=0知x=a-1

x	（-1，a-1）	a-1	（a-1，+∞）
f'（x）	-	0	+
f（x）	↓	極小值	↑

故在a＞0時，f（x）在（-1，a-1）上為減函數，在[a-1，+∞）上為增函數．
因此函數在a≤0時，在（-1，+∞）上單調遞增；在a＞0時，f（x）在（-1，a-1）上為減函數，在[a-1，+∞）上為增函數．…（5分）
（2）要證明：

1

ln(1+x)

-

1

x

＜

1

2

在（0，1）上成立．
只需證：

x

2

ln(1+x)+ln(1+x)-x＞0，在（0，1）上恒成立
設g(x)=

x

2

ln(1+x)+ln(1+x)-x
則g′(x)=

1

2

(ln(1+x)+x.

1

1+x

)+

1

x+1

-1=

1

2

(ln(1+x)-

x

1+x

)
由（1）可知a=1，f（x）在x=0時取到最小值
有ln(1+x)＞

x

1+x

，在x＞0時恒成立．
從而可知g'（x）＞0，故g（x）在（0，1）上為增函數∴g（x）＞g（0）=0
即：

x

2

ln(1+x)+ln(1+x)-x＞0恒成立，從而原不等式得證．…（12分）

點評：本題主要考查了函數恒成立問題，以及利用導數研究函數單調性，同時考查了轉化能力，屬于中檔題．