Question

橢圓上有兩點P，Q，O是坐標原點，若OP，OQ的斜率之積為-．
（1）求證：|OP|²+|OQ|²是定值．
（2）求PQ的中點M的軌跡方程．

Answer 1

（1）證明：設P（4cosα，2sinα），Q（4cosβ，2sinβ）．
∵OP，OQ的斜率之積為-，
∴
∴cos（α-β）=0，
∴α-β=2kπ±，k∈Z．
∴|OP|²+|OQ|²=16（cosα）²+4（sinα）²+16（cosβ）²+4（sinβ）²=20（cosβ）²+20（sinβ）²=20為定值；
（2）解：設M（x，y），則x=2cosα+2cosβ，即=cosα+cosβ①，y=sinα+sinβ②
∴①²+②²可得：=2，即．
分析：（1）利用參數設出點的坐標，根據OP，OQ的斜率之積為-，可得α-β=2kπ±，進而可得|OP|²+|OQ|²是定值；
（2）確定PQ的中點M的坐標，消去參數，即可求得PQ的中點M的軌跡方程．
點評：本題考查橢圓的方程，考查軌跡方程，考查參數的運用，正確設出點的坐標是關鍵．