Question

如圖，在正方體中，O是下底面的中心，B′H⊥D′O，H為垂足，求證：
（1）A′C′∥平面ABCD；
（2）AC⊥平面BB′D′D
（3）B′H⊥平面AD′C．

Answer 1

分析：（1）利用正方體的性質、平行四邊形的性質和線面平行的判定定理即可證明；
（2）利用正方體的性質和線面垂直的判定定理即可證明；
（3）利用線面垂直的判定和性質定理即可證明．

解答：證明：（1）由正方體可得AA′

∥

.

CC′，∴四邊形ACC^′A^′是平行四邊形，∴A^′C^′∥AC．
∵AC?ABCD，A^′C^′?平面ABCD．
∴A′C′∥平面ABCD；
（2）由正方體的性質可得BB^′⊥平面ABCD，
∴BB′⊥AC．
由正方形ABCD可得AC⊥BD，
∵BD∩BB^′=B．
∴AC⊥平面BB′D′D．
（3）由（2）可得：AC⊥平面BB′D′D，
∴AC⊥B^′H．
又B^′H⊥D^′O．AC∩OD^′=O，
∴B′H⊥平面AD′C．

點評：熟練掌握正方體和正方形的性質、線面垂直與平行的判定和性質定理是解題的關鍵．