Question

已知橢圓C:+=1(a>b>0),左、右兩個焦點分別為F1,F2,上頂點A(0,b),△AF1F2為正三角形且周長為6.

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程及離心率;

(2)O為坐標(biāo)原點,P是直線F1A上的一個動點,求|PF2|+|PO|的最小值,并求出此時點P的坐標(biāo).

 

Answer 1

【答案】

(1) +=1 e= (2) (,)

【解析】

解:(1)由題設(shè)得

解得a=2,b=,c=1.

故C的方程為+=1,離心率e=.

(2)直線F1A的方程為y=(x+1),

設(shè)點O關(guān)于直線F1A對稱的點為M(x0,y0),

則⇒

所以點M的坐標(biāo)為(-,).

∵|PO|=|PM|,|PF2|+|PO|=|PF2|+|PM|≥|MF2|,

|PF2|+|PO|的最小值為

|MF2|==.

直線MF2的方程為y=(x-1),

即y=-(x-1).

由⇒

所以此時點P的坐標(biāo)為(,).