Question

已知函數f（x）=lnx-a（x-1），（a＞0）
（1）求函數f（x）的單調區間和極值；
（2）若函數f（x）在（1，+∞）是單調減函數，求實數a的取值范圍；
（3）在（2）的條件下，當n∈N⁺時，證明：（1+

1

2

）（1+

1

22

+）（1+

1

23

）…（1+

1

2n

）＜e．其中（e≈2.718…即自然對數的底數）

Answer 1

分析：（1）求f（x）的導數，得f′ (x)=

1-ax

x

，再討論導數的正負，可得f（x）的單調增區間為(0，

1

a

)，f（x）的單調減區間為(

1

a

，+∞)；
（2）根據函數單調性與導數之間的關系，可得f′ (x)=

1

x

-a≤0在區間（1，+∞）上恒成立，結合x＞1加以討論可得實數a的取值范圍為[1，+∞）；
（3）由（2）知：當a=1時f（x）在（1，+∞）上單調遞減，可得

lnx＜x-1

在（1，+∞）上成立，由此令x=1+

1

2n

得ln（1+

1

2n

）＜

1

2n

，分別取n=1，2，3，…，n將得到的式子相加，再結合對數的運算法則即可證出（1+

1

2

）（1+

1

22

+）（1+

1

23

）…（1+

1

2n

）＜e，對任意的n∈N^*成立．

解答：解：（1）f（x）定義域為（0，+∞）…（1分）
求導數，得f′ (x)=

1

x

-a=

1-ax

x

…（2分）
令f’ (x)=0，x1=0，x2=

1

a

當0＜x＜

1

a

時，f′（x）＞0；當x＞

1

a

時，f′（x）＜0…（3分）
∴f（x）的單調增區間為(0，

1

a

)，f（x）的單調減區間為(

1

a

，+∞)，…（4分）
因此，f（x）的極大值為f(

1

a

)=-lna-1+a，無極小值…（5分）
（2）∵函數f（x）在（1，+∞）是單調減函數，
∴f′ (x)=

1

x

-a≤0在區間（1，+∞）上恒成立．（7分）
∵x＞1，可得0＜

1

x

＜1
∴a≥1，即實數a的取值范圍為[1，+∞）…（9分）
（3）由（2）得當a=1時，f（x）在（1，+∞）上單調遞減，

∴f(x)=lnx-(x-1)＜f(1)=0

，可得

lnx＜x-1，(x＞1)

…（10分）
令x=1+

1

2n

，可得ln（1+

1

2n

）＜

1

2n

…（11分）
分別取n=1，2，3，…，n得
ln（1+

1

2

）+ln（1+

1

22

）+ln（1+

1

23

）+…+ln（1+

1

2n

）＜

1

2

+

1

22

+

1

23

+…+

1

2n

=1-

1

2n

＜1…（13分）
即ln[（1+

1

2

）（1+

1

22

）（1+

1

23

）…（1+

1

2n

）]＜lne
可得（1+

1

2

）（1+

1

22

+）（1+

1

23

）…（1+

1

2n

）＜e，對任意的n∈N^*成立．

點評：本題求函數的單調區間與極值，并依此證明不等式恒成立．著重考查了利用導數研究函數的單調性、求函數的極值和不等式恒成立的證明等知識，屬于中檔題．