Question

已知各項均為正數的數列{a_n}滿足a=，a_n=a_n-1+，其中n=1，2，3，…．
（1）求a₁和a₂的值；
（2）求證：；
（3）求證：．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據遞推關系a_n=a_n-1+，即可求出a₁和a₂的值；
（2）利用放縮法可得，然后兩邊同時除以a_na_n-1即可得到結論；
（3）根據（2）可得a_n＜n，從而，即，，而，從而，∴，即可證得結論．
解答：解：（1）∵，
∴，．
（2）∵a_n-a_n-1=＞0，
∴，∴．
（3）…
又，
∴a_n＜n．
∵，
∴．
∴．
∴
∴．
∵，∴，∴．
綜上所述，．
點評：本題主要考查了數列的遞推關系，以及數列與不等式的綜合運用，同時考查了計算能力，屬于難題．