Question

直線y=x+1與雙曲線C：-=1(b＞0)恒有公共點(diǎn).

(1)求雙曲線C的離心率e的取值范圍；

(2)若直線l:y=x+m(m∈R)過雙曲線C的右焦點(diǎn)F，與雙曲線交于P、Q兩點(diǎn)，并且滿足=，求雙曲線C的方程.

Answer 1

解：(1)把y=x+1代入雙曲線-=1，得b²x²-2(x+1)²-2b²=0.

    整理得(b²-2)x²-4x-2(1+b²)=0.

    當(dāng)b²=2時，直線與雙曲線有一個交點(diǎn)，這時e=2.

    當(dāng)b²≠2時，直線與雙曲線恒有公共點(diǎn)Δ=16+8(b²-2)(1+b²)≥0恒成立,即b⁴-b²≥0恒成立.

    ∵b²＞0,∴b²≥1.

    ∴e²==≥.

    ∴e≥.

    綜上所述e的取值范圍為［,+∞).

    (2)設(shè)F(c,0)，則直線l的方程為y=x-c.

    把y=x-c代入雙曲線-=1，

    得b²(y+c)²-2y²-2b²=0.

    整理得(b²-2)y²+2cb²y+b²c²-2b²=0.

    設(shè)兩交點(diǎn)為P(x₁,y₁)、Q(x₂,y₂),

    則y₁+y₂=,y₁y₂=.

    ∵=,

    ∴y₁=y₂.

    ∴6y₁=,5y₁²=.

    ∴=.

    ∵b²＞0,c²-2=b²,

    ∴=.

    ∴b²=7.

    ∴所求雙曲線C的方程為-=1.