Question

9．已知函數f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{2^x}{，^{\;}}x∈[-1，1]\\{（x-2）^2}+1{，^{\;}}^{\;}x∈（{1，4}]\end{array}$．
（1）在給定的直角坐標系內畫出f（x）的圖象；
（2）寫出f（x）的單調遞增區間和最值及取得最值時x的值（不需要證明）；
（3）若方程f（x）-a=0，有三個實數根，求a的取  值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據已知聽函數解析式，結合指數函數和二次函數的圖象和性質，可得f（x）的圖象；
（2）根據（1）中圖象，可得：f（x）的單調遞增區間和最值及取得最值時x的值；
（3）若方程f（x）-a=0，有三個實數根，函數f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{2^x}{，^{\;}}x∈[-1，1]\\{（x-2）^2}+1{，^{\;}}^{\;}x∈（{1，4}]\end{array}$的圖象與y=a有三個交點，進而可得a的取值范圍．

解答 解：（1）函數f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{2^x}{，^{\;}}x∈[-1，1]\\{（x-2）^2}+1{，^{\;}}^{\;}x∈（{1，4}]\end{array}$的圖象如圖所示：
（2）由圖可得：
f（x）的單調遞增區間為：（-1，1）和（2，4]，
當x=-1，${y_{min}}=\frac{1}{2}$；當x=4，y_max=5
（3）若方程f（x）-a=0，有三個實數根，
則函數f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{2^x}{，^{\;}}x∈[-1，1]\\{（x-2）^2}+1{，^{\;}}^{\;}x∈（{1，4}]\end{array}$的圖象與y=a有三個交點，
則a∈（1，2）

點評 本題考查的知識點是函數的圖象，分段函數的應用，數形結合思想，函數的單調性，函數的最值，難度中檔．