Question

函數f（x）=ax²+bx+c（a≠0）的圖象關于直線x=-

b

2a

對稱．據此可推測，對任意的非零實數a，b，c，m，n，p，關于x的方程m[f（x）]²+nf（x）+p=0的解集都不可能是（　　）

• A、{1，2}
• B、{1，4}
• C、{1，2，3，4}
• D、{1，4，16，64}

Answer 1

分析：根據函數f（x）的對稱性，因為m[f（x）]²+nf（x）+p=0的解應滿足y₁=ax²+bx+c，y₂=ax²+bx+c，
進而可得到方程m[f（x）]²+nf（x）+p=0的根，應關于對稱軸x=-

b

2a

對稱，對于D中4個數無論如何組合都找不到滿足條件的對稱軸，故解集不可能是D．

解答：解：∵f（x）=ax²+bx+c的對稱軸為直線x=-

b

2a

令設方程m[f（x）]²+nf（x）+p=0的解為f₁（x），f₂（x）
則必有f₁（x）=y₁=ax²+bx+c，f₂（x）=y₂=ax²+bx+c
那么從圖象上看，y=y₁，y=y₂是一條平行于x軸的直線
它們與f（x）有交點
由于對稱性，則方程y₁=ax²+bx+c的兩個解x₁，x₂要關于直線x=-

b

2a

對稱
也就是說x₁+x₂=-

b

a

同理方程y₂=ax²+bx+c的兩個解x₃，x₄也要關于直線x=-

b

2a

對稱
那就得到x₃+x₄=-

b

a

，
在C中，可以找到對稱軸直線x=2.5，
也就是1，4為一個方程的解，2，3為一個方程的解
所以得到的解的集合可以是{1，2，3，4}
而在D中，{1，4，16，64}
找不到這樣的組合使得對稱軸一致，
也就是說無論怎么分組，
都沒辦法使得其中兩個的和等于另外兩個的和
故答案D不可能
故選D．

點評：本題主要考查二次函數的性質--對稱性，二次函數在高中已經作為一個工具來解決有關問題，在解決不等式、求最值時用途很大．