Question

如圖，AC是圓O的直徑，點B在圓O上，∠BAC=30°，BM⊥AC交AC于點M，EA⊥平面ABC，FC∥EA，AC=4，EA=3，FC=1．
（1）證明：EM⊥BF；
（2）求平面BEF與平面ABC所成的銳二面角的余弦值．

Answer 1

解：（1）證明：∵EA⊥平面ABC，BM伡平面ABC，
∴EA⊥BM．
又∵BM⊥AC，EA∩AC=A，
∴BM⊥平面ACFE， 而EM伡平面ACFE，
∴BM⊥EM．
∵AC是圓O的直徑，
∴∠ABC=90°．
又∵∠BAC=30°，AC=4，
∴，AM=3，CM=1．
∵EA⊥平面ABC，FC∥EA，
∴FC⊥平面ABCD．
∴△EAM與△FCM都是等腰直角三角形．
∴∠EMA=∠FMC=45°．
∴∠EMF=90°，
即EM⊥MF（也可由勾股定理證得）．
∵MF∩BM=M，
∴EM⊥平面MBF． 而BF伡平面MBF，
∴EM⊥BF．
（2）延長EF交AC于G，連BG，過C作CH⊥BG，連接FH．
由（1）知FC⊥平面ABC，BG伡平面ABC，
∴FC⊥BG． 而FC∩CH=C，
∴BG⊥平面FCH．
∵FH伡平面FCH，
∴FH⊥BG，
∴∠FHC為平面BEF與平面ABC所成的 二面角的平面角．
在Rt△ABC中，
∵∠BAC=30°，AC=4，
∴．  
由，得GC=2．
∵．
又∵△GCH～△GBM，
∴，則．
∴△FCH是等腰直角三角形，∠FHC=45°．
∴平面BEF與平面ABC所成的銳二面角的余弦值為．