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已知函數f(x)=ax2-(a+2)x+lnx.
(1)當a=1時,求曲線y=f(x)在點(1,f (1))處的切線方程;
(2)當a>0時,若f(x)在區間[1,e)上的最小值為-2,求a的取值范圍.
分析:(1)先求出f(1)及f′(1)的值,然后代入點斜式方程即可得到曲線y=f(x)在點(1,f (1))處的切線方程;
(2)確定函數的定義域,求導函數,利用導數的正負,分類討論,即可求得函數的單調區間,從而可求出f(x)在區間[1,e)上的最小值,建立等式可求出所求.
解答:解:解:(1)當a=1時,f(x)=x2-3x+lnx,f′(x)=2x-3+
1
x

∵f′(1)=0,f(1)=-2,∴切線方程為:y=-2.                                     
(2)函數f(x)=ax2-(a+2)x+lnx的定義域為(0,+∞).
當a>0時,f′(x)=2ax-(a+2)+
1
x
=
2ax2-(a+2)x-1
x
(x>0),
令f′(x)=0,即f′(x)=
(2x-1)(ax-1)
x
=0,
∴x=
1
2
或x=
1
a

0<
1
a
≤1
,即a≥1時,f(x)在[1,e]上單調遞增,
所以f(x)在[1,e]上的最小值是f(1)=-2;
1<
1
a
<e
時,f(x)在[1,e]上的最小值是f(
1
a
)<f(1)=-2
,不合題意;
1
a
≥e
時,f(x)在[1,e]上單調遞減,
所以f(x)在[1,e]上的最小值是f(e)<f(1)=-2,不合題意,
故a的取值范圍為[1,+∞).
點評:本題考查了導數的幾何意義,導數的幾何意義即在某點處的導數即該點處切線的斜率,解題時要注意運用切點在曲線上和切點在切線上.利用導數研究函數在閉區間上的最值,一般是求出導函數對應方程的根,然后求出跟對應的函數值,區間端點的函數值,然后比較大小即可得到函數在閉區間上的最值.屬于中檔題.
練習冊系列答案
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已知函數f(x)=
a-x2
x
+lnx  (a∈R , x∈[
1
2
 , 2])

(1)當a∈[-2,
1
4
)
時,求f(x)的最大值;
(2)設g(x)=[f(x)-lnx]•x2,k是g(x)圖象上不同兩點的連線的斜率,否存在實數a,使得k≤1恒成立?若存在,求a的取值范圍;若不存在,請說明理由.

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(2009•海淀區二模)已知函數f(x)=a-2x的圖象過原點,則不等式f(x)>
34
的解集為
(-∞,-2)
(-∞,-2)

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2x
)>3

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(1)若a•b>0,判斷函數f(x)的單調性;
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