Question

9．已知函數f（x）=x+$\frac{a}{x}$（a為非零實數）
（1）判斷f（x）的奇偶性，并加以證明；
（2）當a=4時，?①用定義證明f（x）在（0，2）上單調遞減，在（2，+∞）上單調遞增；
?②寫出f（x）在（-∞，0）的單調區間（不用加以證明）

Answer 1

分析 （1）判斷函數的奇偶性，利用奇偶性的定義證明即可．
（2）①利用函數的單調性的定義證明即可．②集合函數的單調性，寫出單調區間即可．

解答 解：（1）函數f（x）=x+$\frac{a}{x}$是奇函數…（1分）
函數f（x）=x+$\frac{a}{x}$的定義域為（-∞，0）∪（0，+∞），關于原點對稱…（2分）
且f（-x）=-x-$\frac{a}{x}$=-（x+$\frac{a}{x}$）=-f（x）…（3分）
∴f（x）是奇函數…（4分）
（2）?①任取x₁，x₂∈（0，+∞）且x₁＜x₂，
則$f（{x_2}）-f（{x_1}）={x_2}+\frac{4}{x_2}-{x_1}-\frac{4}{x_1}=（{x_2}-{x_1}）+\frac{{4（{x_1}-{x_2}）}}{{{x_1}{x_2}}}$=$（{x_2}-{x_1}）（1-\frac{4}{{{x_1}{x_2}}}）=\frac{{（{x_2}-{x_1}）（{x_1}{x_2}-4）}}{{{x_1}{x_2}}}$…（6分）
當0＜x₁＜x₂＜2時，x₂-x₁＞0，x₁x₂＞0
∴f（x₂）-f（x₁）＜0，即f（x₁）＞f（x₂）．∴f（x）在（0，2）上單調遞減；…（8分）
當2＜x₁＜x₂時，x₂-x₁＞0，x₁x₂-4＞0，x₁x₂＞0∴f（x₂）-f（x₁）＞0，即f（x₁）＜f（x₂）．∴f（x）在（2，+∞）上單調遞增；…（10分）
②?∵f（x）Z是奇函數，f（x）在（0，2）上單調遞減，在（2，+∞）上單調遞增，
∴f（x）在（-2，0）上單調遞減，在（-∞，-2）上單調遞增；…（12分）

點評 本題考查函數的奇偶性以及函數的單調性的判斷與應用，考查轉化思想以及計算能力．