Question

在環(huán)保知識有獎問答比賽中，甲、乙、丙同時回答一道有關水體凈化知識的問題，甲答對的概率是

3

4

，甲、丙兩人都打錯的概率是

1

12

，乙、丙兩人都答對的概率是

1

4

．
求：（1）乙、丙兩人各自答對這道題目的概率．
（2）（理做）答對這道題目的人數的隨機變量ξ的分布列和期望．
（文做）甲、乙、丙三人中至少有兩人答對這道題目的概率．

Answer 1

分析：（1）設出乙和丙答對的概率，根據甲答對的概率是

3

4

，甲、丙兩人都打錯的概率是

1

12

，乙、丙兩人都答對的概率是

1

4

，列出關于兩個概率的關系式，就方程組即可．
（2）（理）由題意知變量的可能取值是0，1，2，3，4，結合變量對應的事件寫出變量的概率，寫出分布列和期望值．
（文）由題意知甲、乙、丙三人中至少有兩人答對這道題目包括四種情況，這四種情況是互斥的，根據相互獨立事件同時發(fā)生的概率和互斥事件的概率公式寫出結果．

解答：解：（1）設乙、丙各自答對的概率分別是P₁、P₂，
根據題意得：

(1- 3 4 )×(1-P2)= 1 2 ;P1×P2= 1 4

，解得：P₁=

3

8

．P₂=

2

3

；           
（2）（理科）ξ的可能取值是0，1，2，3，
P（ξ=0）=

1

4

×

5

8

×

1

3

=

5

96

，
P（ξ=1）=

3×5×1+1×3×1+1×5×2

96

=

7

24

；              （9分）
P（ξ=2）=

3×3×1+3×5×2+1×3×2

96

=

15

32

，
P（ξ=3）=

3×3×2

96

=

3

16

所以ξ的分布列為                                      （10分）

ξ	0	1	2	3
P	5 96	7 24	15 32	3 16

ξ的數學期望Eξ=0×

5

96

+1×

7

24

+2×

15

32

+3×

3

16

=

43

24

．（12分）
（文科）由題意知甲、乙、丙三人中至少有兩人答對這道題目包括四種情況，
這四種情況是互斥的，
∴P=

3

8

×

2

3

×

1

4

+

3

8

×

1

3

×

3

4

+

1

8

×

2

3

×

3

4

+

3

8

×

2

3

×

3

4

=

13

32

點評：本題考查離散型隨機變量的分布列和期望和相互獨立事件同時發(fā)生的概率，本題解題的關鍵是注意數字的運算不要出錯，因為題目中出現(xiàn)的數字較多．