Question

設集合A={x∈R|x²-4x=0}，集合B={x∈R|x²-2（a+1）x+a²-1=0}，
（1）若B=∅，求實數a的取值范圍；
（2）若B≠∅，且A∩B=B，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）利用B=∅，說明方程無解，利用判別式求解．
（2）將A∩B=B，轉化為B⊆A，然后進行求解．

解答：解：（1）因為B=∅，所以，關于x的方程x²-2（a+1）x+a²-1=0無實數根，
由于△=[-2（a+1）]²-4（a²-1）=8（a+1）
所以8（a+1）＜0，即a＜-1．
所以B=∅時，實數a的取值范圍是a＜-1；     …（3分）
（2）因為A∩B=B，所以B⊆A={0，4}，
又B≠∅，所以
①當B={0}或{4}時，關于x的方程x²-2（a+1）x+a²-1=0有兩個相等的實數根，
即△=0，解得a=-1，經檢驗，適合題意；        …（5分）
②當B={0，4}時，關于x的方程x²-2（a+1）x+a²-1=0有兩個不相等的實數根，且兩根為0和4，
故有

△＞0 0+4=2(a+1) 0×4=a2-1

，解得a=1，經檢驗，適合題意； …（7分）
所以，B≠∅，且A∩B=B時，實數a的取值范圍是a=±1．…（8分）

點評：本題主要考查了，利用集合的關系求參數問題，利用集合關系確定兩個集合元素的關系是解決本題的關鍵．