Question

設二次函數f(x)＝x²＋ax＋a，方程f(x)－x＝0的兩根x₁和x₂滿足0<x₁<x₂<1.
(1)求實數a的取值范圍；
(2)試比較f(0)·f(1)－f(0)與的大小，并說明理由

Answer 1

法一：(1)令g(x)＝f(x)－x＝x²＋(a－1)x＋a，
則由題意可得
?
⇒0<a<3－2.
故所求實數a的取值范圍是(0,3－2)．
(2)f(0)·f(1)－f(0)＝g(0)g(1)＝2a²，令h(a)＝2a²，
∵當a>0時，h(a)單調遞增，∴當0<a<3－2時，
0<h(a)<h(3－2)＝2(3－2)²＝2(17－12)
＝2·<，即f(0)·f(1)－f(0)<.
法二：(1)同解法一．
(2)∵f(0)f(1)－f(0)＝g(0)g(1)＝2a²，由(1)知
0<a<3－2，
∴4a－1<12－17<0.又4a＋1>0，于是
2a²－＝(32a²－1)＝(4a－1)(4a＋1)<0，
即2a²－<0，故f(0)f(1)－f(0)<.
法三：(1)方程f(x)－x＝0?x²＋(a－1)x＋a＝0，由韋達定理得x₁＋x₂＝1－a，x₁x₂＝a，于是0<x₁<x₂<1
??
?0<a<3－2.
故所求實數a的取值范圍是(0,3－2)．
(2)依題意可設g(x)＝(x－x₁)(x－x₂)，則由0<x₁<x₂<1，得f(0)f(1)－f(0)＝g(0)g(1)＝x₁x₂(1－x₁)(1－x₂)＝[x₁(1－x₁)][x₂(1－x₂)]<²²＝，故f(0)f(1)－f(0)<.

略