Question

一個四棱錐P一ABCD的正視圖是邊長為2的正方形及其一條對角線，側視圖和俯視圖全全等的等腰直角三角形，直角邊長為2，直觀圖如圖．
（1）求四棱錐P一ABCD的體積：
（2）求二面角C-PB-A大小；
（3）M為棱PB上的點，當PM長為何值時，CM⊥PA？

Answer 1

分析：（1）由三視圖可知，PD⊥平面ABCD，這樣就看出四棱錐的底面和高都可以知道，做出體積的值．
（2）以D為坐標原點，分別以DP、DC、DA所在直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系．兩個平面的法向量都不用求出，只要證出就可以，這樣根據兩個向量的夾角做出二面角的值．
（3）根據三點共線設出要求的向量，根據兩條線垂直，得到兩個向量的數量積等于0，求出所設的值，得到結果．

解答：解：（1）由三視圖可知，PD⊥平面ABCD，
∴四棱錐P-ABCD的體積V=

1

3

SABCD•PD=

8

3

；
（2）如圖，以D為坐標原點，分別以DP、DC、DA所在
直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系．設CP中
點為E，則OE⊥PC，OE⊥BC，所以

OE

是平面PBC的法向量；設AP中點為F，同理
可知

OF

是平面PAB的法向量．
知

OF

是平面PAB的法向量．

OE

=(1，1，0)，

OF

=(1，0，1)，
設二面角C-PB-A的平面角為θ，則|cosθ|=|

OE • OF

| OE |•| OF |

=

1

2

，顯然θ＞

π

2

，
所以二面角C-PB-A大小為

2π

3

；
（3）P（2，0，0），B（0，2，2），C（0，2，0），A（0，0，2），∵PMB共線，
∴可設

PM

=k•

PB

=(-2k，2k，2k)，k∈R，

CM

=

CP

+

PM

=(2-2k，-2+2k，2k)，

PA

=(-2，0，2)，
∵CM⊥PA，所以

CM

•

PA

=8k-4=0，∴k=

1

2

∴

PM

=(-1，1，1)，|

PM

|=

3

∴PM的長為

3

時，CM⊥PA

點評：本題考查利用空間向量解決幾何體中的夾角和距離的問題，本題解題的關鍵是建立合適的坐標系，注意選擇解題的方法，方法選擇的好，可以降低題目的難度，本題可以作為高考卷中的題目出現．