Question

對于函數f（x）=2cos²x+2sinxcosx-1（x∈R）給出下列命題：
①f（x）的最小正周期為2π；
②f（x）在區(qū)間[

π

2

，

5π

8

]上是減函數；
③直線x=

π

8

是f（x）的圖象的一條對稱軸；
④f（x）的圖象可以由函數y=

2

sin2x的圖象向左平移

π

4

而得到．
其中正確命題的序號是

②③

（把你認為正確的都填上）．

Answer 1

分析：由于f（x）=2cos²x+2sinxcosx-1=

2

sin（2x+

π

4

），利用正弦函數的性質對①②③④諸項判斷即可．

解答：解：∵f（x）=2cos²x+2sinxcosx-1=

2

sin（2x+

π

4

），
∴T=

2π

2

=π，①不對；
由2kπ+

π

2

≤2x+

π

4

≤2kπ+

3π

2

得：kπ+

π

8

≤x≤kπ+

5π

8

，k∈Z．當k=0時，

π

8

≤x≤

5π

8

，
顯然，[

π

2

，

5π

8

]?[

π

8

，

5π

8

]，
∴f（x）在區(qū)間[

π

2

，

5π

8

]上是減函數正確，即②正確；
對于③，f（0）=

2

×

2

2

=1，f（

π

4

）=

2

sin

3π

4

=

2

×

2

2

=1，即f（0）=f（

π

4

），
故直線x=

π

8

是f（x）的圖象的一條對稱軸，正確，即③正確；
④，函數y=

2

sin2x的圖象向左平移

π

4

而得到：y=

2

sin2（x+

π

4

）=

2

cos2x≠

2

sin（2x+

π

4

），即④錯誤．
綜上所述，正確命題的序號是②③．
故答案為：②③．

點評：本題考查函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換，著重考察正弦函數的周期性、單調性、對稱性及化簡求值，考查三角函數的綜合運用能力，屬于中檔題．