Question

已知函數f(x)=ln(a^x-b^x)(a＞1＞b＞0)。
(1)求函數f(x)的定義域I；
(2)判斷函數f(x)在定義域I上的單調性，并說明理由；
(3)當a，b滿足什么關系時，f(x)在[1，+ ∞)上恒取正值。

Answer 1

解：（1）有意義，需滿足，
，
∴函數的定義域為。
（2）函數在定義域上是單調遞增函數；
證明：，
，
∴，
∴，，
∴，
所以，原函數在定義域上是單調遞增函數。
（3）要使在上恒取正值，須在上的最小值大于0，
由（2）知，y_min=f（1）=ln（a-b），
，
∴a-b＞1，
所以，在上恒取正值時有a-b＞1。