Question

【題目】已知函數．

（Ⅰ）當時，求函數的零點；

（Ⅱ）求的單調區間；

（Ⅲ）當時，若對恒成立，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）當時，單調遞增區間為，單調遞減區間為；當時，單調遞增區間為，單調遞減區間為；當時，單調遞增區間為，單調遞減區間為；（Ⅲ）

【解析】

試題分析：（Ⅰ）由，可知當時，，

可得兩零點分別為和；（Ⅱ）由，得或，分，，三種情況進行討論；（Ⅲ）由求得函數在上的最小值，若不等式對恒成立，則，解得.

試題解析：（Ⅰ）令，即。

因為，所以。

，因為，所以。

所以方程有兩個不等實根：。

所以函數有且只有兩個零點和。

（Ⅱ）。

令，即，解得或。

當，列表得：

				1
		0		0
	單調遞增	極大值	單調遞減	極小值	單調遞增

當時，

（1）若，則，列表得

				1
		0		0
	單調遞減	極小值	單調遞增	極大值	單調遞減

（2）若，則，列表得

		1		1
		0		0
	單調遞減	極小值	單調遞增	極大值	單調遞減

綜上，當時，單調遞增區間為，單調遞減區間為；

當時，單調遞增區間為，單調遞減區間為；

當時，單調遞增區間為，單調遞減區間為。

（Ⅲ）因為，所以當時，有，

所以，從而。

當時，由（Ⅱ）可知函數在時取得最小值。

所以為函數在上的最小值。

由題意，不等式對恒成立，

所以得，解得。

所以的取值范圍是。