Question

已知等差數(shù)列{a_n}滿足a₃+a₄=9，a₂+a₆=10；又數(shù)列{b_n}滿足nb₁+（n-1）b₂+…+2b_n-1+b_n=S_n，其中S_n是首項為1，公比為的等比數(shù)列的前n項和．
（1）求a_n的表達式；
（2）若c_n=-a_nb_n，試問數(shù)列{c_n}中是否存在整數(shù)k，使得對任意的正整數(shù)n都有c_n≤c_k成立？并證明你的結(jié)論．

Answer 1

解：（1）設等差數(shù)列{a_n}的公差為d，∵a₃+a₄=9，a₂+a₆=10，
∴，解得，
∴a_n=2+1×（n-1）=n+1．
（2）∵S_n是首項為1，公比為的等比數(shù)列的前n項和，
∴nb₁+（n-1）b₂+…+2b_n-1+b_n=，①
（n-1）b₁+（n-2）b₂+…+2b_n-2+b_n-1=…+，②
①-②得b₁+b₂+…+b_n=，即．
當n=1時，b₁=T_n=1，
當n≥2時，b_n=T_n-T_n-1==．
∴．．
于是c_n=-a_nb_n．
設存在正整數(shù)k，使得對?n∈N^*，都有c_n≤c_k恒成立．
當n=1時，，即c₂＞c₁．
當n≥2時，
==．
∴當n＜7時，c_n+1＞c_n；
當n=7時，c₈=c₇；
當n＞7時，c_n+1＜c_n．
∴存在正整數(shù)k=7或8，使得對?n∈N^*，都有c_n≤c_k恒成立．
分析：（1）利用等差數(shù)列的通項公式即可得出；
（2）利用等比數(shù)列的通項公式、、分類討論的思想方法即可得出．
點評：熟練掌握等差數(shù)列的圖象公式、分類討論的思想方法、等比數(shù)列的通項公式、、分類討論的思想方法是解題的關(guān)鍵．