Question

橢圓的中心在原點，焦點在x軸上，若橢圓的一個焦點將長軸分成的兩段的比例中項等于橢圓的焦距，又已知直線2x-y-4=0被此橢圓所截得的弦長為

4 5

3

，求此橢圓的方程．

Answer 1

分析：由橢圓的一個焦點將長軸分成的兩段的比例中項等于橢圓的焦距，知4c²=（a+c）（a-c），解得b²=4c²，由

4x2+5y2=m 2x-y-4=0

，得24x²-80x+80-m=0，由弦長公式得

4 5

3

=

5

×

3m-40 18

，由此能求出橢圓的方程．

解答：解：∵橢圓的一個焦點將長軸分成的兩段的比例中項等于橢圓的焦距，
∴4c²=（a+c）（a-c），
解得a²=5c²，
∴b²=4c²，
由

4x2+5y2=m 2x-y-4=0

，
消去y，得24x²-80x+80-m=0，
設直線與橢圓交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則x1+x2=

80

24

=

10

3

，x1•x2=

80-m

24

，k=2，
由弦長公式l=

1+k2

|x1-x2|=

5

•

100 9 - 80-m 6

=

5

•

3m-40 18

，
∵直線2x-y-4=0被此橢圓所截得的弦長為

4 5

3

，
∴

4 5

3

=

5

×

3m-40 18

，
解得m=24，
∴橢圓的方程是4x²+5y²=24．

點評：本題主要考查橢圓標準方程，簡單幾何性質，直線與橢圓的位置關系等基礎知識．考查運算求解能力，推理論證能力；考查函數與方程思想，化歸與轉化思想．