Question

已知奇函數f（x）在（-∞，0）∪（0，+∞）上有定義，在（0，+∞）上是增函數，f（1）=0，又知函數g（θ）=sin²θ+mcosθ-2m，θ∈[0，

π

2

]，集合M={m|恒有g（θ）＜0}，N={m|恒有f（g（θ））＜0}，求M∩N．

Answer 1

分析：利用奇函數在對稱區間的單調性相同得到f（x）在（-∞，0）上也是增函數，f（-1）=0，將集合N中的0用f（-1）代替，利用f（x）的單調性將f脫去，利用三角函數的平方關系將正弦用余弦表示，通過換元轉化為二次不等式恒成立，通過轉化為求二次函數的最值，通過對對稱軸的討論求出最值．

解答：解：∵奇函數f（x）在（0，+∞）上是增函數，∴f（x）在（-∞，0）上也是增函數，
又由f（1）=0得f（-1）=-f（1）=0
∴滿足

g(θ)＜0 f(g(θ))＜0=f(-1)

的條件是

g(θ)＜0 g(θ)＜-1

即g(θ)＜-1(θ∈[0，

π

2

])，即sin²θ+mcosθ-2m＜-1，
也即-cos²θ+mcosθ-2m+2＜0．
令t=cosθ，則t∈[0，1]，又設δ（t）=-t²+mt-2m+2，0≤t≤1
要使δ（t）＜0，必須使δ（t）在[0，1]內的最大值小于零
1°當

m

2

＜0即m＜0時，δ（t）_max=δ（0）=-2m+2，解不等式組

m＜0 -2m+2＜0

知m∈∅
2°當0≤

m

2

≤1即0≤m≤2時，δ（t）_max=

m2-8m+8

4

，
由

m2-8m+8

4

＜0，解得4-2

2

≤m≤4+2

2

，故有2≥m≥4-2

2?

當

m

2

＞1即m＞2時，δ（t）_max=-m+1，解不等式組

m＞2 -m+1＜0

得m＞2
綜上：M∩N={m|m＞4-2

2

 }

點評：本題考查奇函數在對稱區間上的單調性相同、考查利用函數的單調性脫去對應法則將抽象不等式轉化為具體不等式、考查換元法注意換元后新變量的范圍、考查不等式恒成立轉化為函數的最值、考查二次函數的最值取決于對稱軸與區間的位置關系．