Question

（1）求證，若方程x³+ax²+bx+c=0的三根可排成等比數列，則a³c=b³．
（2）已知方程x³+7x²-21x-27=0的三根可以排成等比數列，求三根．

Answer 1

【答案】分析：（1）設出原方程的三根，根據一元三次方程根與系數的關系得到三根的三個關系式，又三根可排成等比數列，根據等比數列的性質得到中間的一根的平方等于其他兩根的積即β²=αγ，要證a³c=b³即要證=c，把a與b代入等號的左邊，化簡后得到c，得證；
（2）根據（1）可知β³=-c，又由方程得到c=-27，進而求出β的值，由三根之和等于-7，得到其他兩根之和，記作①，由三根成等比數列得到β²=αγ，將β的值代入即可求出其他兩根之積，記作②，聯立①②即可求出其他的兩個根，依次寫出三根即可．
解答：解：（1）設α，β，γ是方程x³+ax²+bx+c=0的三根，
由根與系數關系可知：α+β+γ=-a，αβ+βγ+γα=b，αβγ=-c，
又因α，β，γ排成等比數列，于是β²=αγ．
則
==-β³=-αβγ=c
即a³c=b³，得證；
（2）解：由（1）可知β³=-c，∴β³=27，
∴β=3．代入α+β+γ=-7
可得α+γ=-10，又由α，β，γ成等比數列，∴β²=αγ，
即αγ=9，故可得方程組：
解之，可得α=-9或-1，γ=-1或-9．
于是，所求之三根為-9，3，-1或-1，3，-9．
點評：此題考查學生掌握一元n次方程的根與系數的關系，靈活運用等比數列的性質化簡求值，是一道中檔題．