Question

【題目】若定義在R上的函數滿足，且當時， ，則函數在區間[-7,1]上的零點個數為( )

A. 4 B. 6 C. 8 D. 10

Answer 1

【答案】C

【解析】定義在R上的函數f(x)滿足f(x)=f(x),f(2x)=f(x)，

∴函數f(x)是偶函數，且函數的圖象關于x=1對稱。

∵設g(x)=xex,其定義域為R,g′(x)=(xex)′=x′ex+x(ex)′=ex+xex

令g′(x)=ex+xex=ex(1+x)=0，解得：x=1.

列表：

x	(∞,1)	1	(1,+∞)
g′(x)		0	+
g(x)	↓	極小值	↑

由表可知函數g(x)=xex的單調遞減區間為(∞,1),單調遞增區間為(1,+∞).

當x=1時,函數g(x)=xex的極小值為 .

故函數y=|xex|在x=1時取得極大值為 ，

且y=|xex|在(∞,1)上是增函數,在(1,∞)上是減函數，

在區間[7,1]上,故當x<0時,f(x)與g(x)有7個交點，當x>0時，有1個交點，共有8個交點，

如圖所示：

故選：C.