Question

【題目】如圖，已知中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上的橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)為，是橢圓上一點(diǎn).

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）設(shè)橢圓的上下頂點(diǎn)分別為，，是橢圓上異于的任意一點(diǎn)，軸，為垂足，為線段的中點(diǎn)，直線交直線于點(diǎn)，為線段的中點(diǎn).

①求證：；

②若的面積為，求的值；

Answer 1

【答案】（1）（2）①證明見(jiàn)解析；②

【解析】

(1)設(shè)橢圓方程為,由題意,得,再由是橢圓上的一個(gè)點(diǎn),即可求出橢圓方程;

(2)根據(jù)題意,求出直線AB的方程、點(diǎn)M,C,N的坐標(biāo),計(jì)算,可得,再利用,結(jié)合橢圓方程,求解可得結(jié)果.

（1）設(shè)橢圓方程為，

由題意，得.因?yàn)?/span>，所以.

又是橢圓上的一個(gè)點(diǎn)，所以，

解得或(舍去)，

所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

（2）①解：因?yàn)?/span>，，則，且.

因?yàn)?/span>為線段中點(diǎn)，所以.

又，所以直線的方程為.

因?yàn)?/span>，∴

令，得，

又，為線段的中點(diǎn)，有，

所以.

因此，

.

所以.

②由①知，.

因?yàn)?/span>，

所以在中，，

因此，從而有，

解得.