Question

已知函數f（x）=x²+2x+alnx，a∈R．
（Ⅰ）當a=-4時，求f（x）的極值；
（Ⅱ）若f（x）在區間（0，1）上無極值點，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求導函數，確定函數的單調性，可求f（x）的極值；
（Ⅱ）若f（x）在區間（0，1）上無極值點，等價于f′(x)=2x+2+

a

x

≥0對x∈（0，1）恒成立或f′(x)=2x+2+

a

x

≤0對x∈（0，1）恒成立，分離參數，可求a的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）由題意，f′(x)=2x+2-

4

x

，由函數的定義域為（0，+∞），
令f′（x）＞0，可得x＞1；f′（x）＜0，可得0＜x＜1，
∴函數在x=1處取得極小值f（1）=3；
（Ⅱ）由題意，f′(x)=2x+2+

a

x

≥0對x∈（0，1）恒成立或f′(x)=2x+2+

a

x

≤0對x∈（0，1）恒成立，
即a≥-2x（x+1）x∈（0，1）或a≤-2x（x+1）x∈（0，1）
所以a≥0或a≤4．

點評：本題考查導數知識的運用，考查函數的單調性，考查學生分析轉化問題的能力，屬于中檔題．