Question

已知函數若關于x的方程f（x）=x有且僅有二個不等實根，則實數a的取值范圍是（ ）
A．[1，2]
B．（-∞，2）
C．[2，3）
D．（-3，-2]

Answer 1

【答案】分析：在同一坐標系里作出函數y=f（x）的圖象與y=x的圖象，根據a值觀察兩圖象交點的個數，可得當a＜2時兩圖象有三個交點，相應地方程應有三個不等實根，當a≥3兩圖象只有一個交點，相應地方程只有一個實根．因此只有當a∈[2，3）時，兩圖象有且僅有二個交點，相應地方程且僅有二個實根等實數根．
解答：解：根據題意，作出函數的圖象，發現
當x≤0時，函數的圖象是由y=3^-x的圖象向上或向下平移而得；
而x＞0的圖象是由左邊-1＜x≤0部分右移一個單位而來，得到0＜x≤1的部分；
0＜x≤1部分右移一個單位，得到1＜x≤2的部分；
依此類推，得到y軸右邊的各段圖象如圖．
當a=2時，方程y=f（x）與y=x圖象恰好有且僅有二個交點，但是在此情況下將函數圖象向上平移一點，兩圖象就有三個不同的交點
向下平移時，有兩個交點，但平移超過1個單位時，a≥3，又變成了一個交點
因此，兩個圖象有且僅有2交點的a的取值范圍是[2，3），此時方程f（x）=x有且僅有二個不等實根
故選C
點評：本題考查了方程的根的個數、函數零點判斷等等知識點，屬于中檔題．采用數形結合是此種問題的常用解法．