Question

若f（x）為奇函數且在（0，+∞）上遞增，又f（2）=0，則

f(x)-f(-x)

x

＞0的解集是（　　）

A．（-2，0）∪（0，2）

B．（-∞，2）∪（0，2）

C．（-2，0）∪（2，+∞）

D．（-∞，-2）∪（2，+∞）

Answer 1

分析：根據f（x）在（0，+∞）上為單調遞增函數，且f（2）=0，得到當0＜x＜2時，f（x）＜0；當x≥2時，f（x）≥0．再結合函數為奇函數證出：當x≤-2時，f（x）≤0且-2＜x＜0時，f（x）＞0，最后利用這個結論，將原不等式變形，討論可得所求解集．

解答：解：∵f（x）在（0，+∞）上為單調遞增函數，且f（2）=0，
∴當0＜x＜2時，f（x）＜0；當x≥2時，f（x）≥0
又∵f（x）是奇函數
∴當x≤-2時，-x≥2，可得f（-x）≥0，從而f（x）=-f（-x）＜0．即x≤-2時f（x）≤0；
同理，可得當-2＜x＜0時，f（x）＞0．
不等式

f(x)-f(-x)

x

＞0可化為：

2f(x)

x

＞0，即

f(x)

x

＞0
∴

f(x)＞0 x＞0

或

f(x)＜0 x＜0

，解之可得x＞2或x＜-2
所以不等式

f(x)-f(-x)

x

＞0的解集為：（-∞，-2）∪（2，+∞）．
故選：D．

點評：本題以抽象函數為例，在已知f（x）的單調性和奇偶性的基礎之上求解關于x的不等式，著重考查了函數的單調性與奇偶性的知識點，屬于中檔題．