Question

若向量

α

，

β

滿足|

β

|=3，|

α

|=2|

β

-

α

|，則|

α

|的取值范圍為（　　）

A．[2，6]

B．[1，5]

C．[2，7]

D．[1，7]

Answer 1

分析：在△ABC中，設

CA

=

β

，

CB

=

α

，則

β

-

α

=

BA

，由向量

α

，

β

滿足|

β

|=3，|

α

|=2|

β

-

α

|，知|

CA

| =3，|

CB

|=2|

BA

|，由余弦定理知|

CA

|²=|

CB

|²+|

BA

|²-2|

CB

|•|

BA

|cosB，故|

BA

|  2=

9

5-4cosB

∈[1，9]，由此能求出|

α

|=2|

BA

|的取值范圍．

解答：解：在△ABC中，設

CA

=

β

，

CB

=

α

，則

β

-

α

=

BA

，
∵向量

α

，

β

滿足|

β

|=3，|

α

|=2|

β

-

α

|，
∴|

CA

| =3，|

CB

|=2|

BA

|
∴由余弦定理，得|

CA

|²=|

CB

|²+|

BA

|²-2|

CB

|•|

BA

|cosB，
∴9=5|

BA

|²-4|

BA

|²cosB，
∴|

BA

|  2=

9

5-4cosB

∈[1，9]，
∴|

BA

|=[1，3]，
∴|

α

|=2|

BA

|的取值范圍是[2，6]．
故選A．

點評：本題考查平面的數量積的性質和應用，是基礎題．解題時要認真審題，巧妙地把向量問題轉化為三角問題是正確解題的關鍵步驟．