Question

f(x)=

x

1+|x|

(x∈R)，甲、乙、丙三位同學在研究此函數時分別給出命題：甲：函數f（x）的值域為（-1，1）；乙：若x₁≠x₂則一定有f（x₁）≠f（x₂）；丙：若規定f1( x)=f(x)，fn(x)=f(fn-1(x))，則fn(x)=

x

1+n|x|

對任意n∈N*恒成立你認為上述三個命題中正確的個數有

 

．

Answer 1

分析：由題設知函數f(x)=

x

1+|x|

(x∈R)，是一個奇函數，先研究自變量大于0時的性質，再由奇函數的性質導出另一部分的性質．甲研究的是其值域問題；乙研究的是單調性問題；丙研究的是一個恒等式，宜用遞推關系推證結論．

解答：解：函數f(x)=

x

1+|x|

(x∈R)，故函數是一個奇函數，先研究（0，+∞）上的性質
當x∈（0，+∞）時，f(x)=

x

1+x

(x∈R +)即f(x)=1-

1

1+x

(x∈R +)，函數在（0，+∞）上是增函數用值域為（0，1）
由奇函數的定義知函數在（-∞，0）上是增函數且值域為（-1，0），又f（0）=0故函數在R上的值域是（-1，1），且在R上是增函數，由此知甲乙兩命題是正確的．
對于丙，f₁（x）=f（x），f_n（x）=f（f_n-1（x））對任意的n∈N^*都成立，有f₁（x）=f（x）=

x

1+|x|

(x∈R)，
f₂（x）=f（f₁（x））=

x

1+2|x|

(x∈R)，f₃（x）=f（f₂（x））=

x

1+3|x|

(x∈R)…f_n（x）=f（f_n-1（x））=

x

1+n|x|

(x∈R)故丙也是正確的．
綜上，三個命題都是正確的
故應填3．

點評：考查函數的性質，判斷單調性與求值域時本題采用了分段研究的技巧，丙命題的證明采用了窮舉法，在解題時不常用．