Question

已知函數f（x）=

1+alnx

x

，（a∈R）．
（1）若函數f（x）在x=1處取得極值，求實數a的值；
（2）在（1）條件下，若直線y=kx與函數y=f（x）的圖象相切，求實數k的值．

Answer 1

分析：（1）根據極值的定義可得f′（1）=0求出a的值然后再回代到題中利用極值的定義判斷函數f（x）是否在x=1處取得極值以免產生增根．
（2）設切點A（x₀，y₀）根據直線y=kx與函數y=f（x）的圖象相切和導數的幾何意義可得k=f′（x₀）再根據k=k_OA建立關于x₀的等式然后求出x₀（要注意其大于0）進而求出k

解答：解：（1）∵f（x）=

1+alnx

x

∴f′（x）=

a-1-alnx

x2

∵函數f（x）在x=1處取得極值
∴f′（1）=a-1=0
∴a=1
經檢驗，a=1時f′（x）=-

lnx

x2

故0＜x＜1時f′（x）＞0，x＞1時f′（x）＜0，所以函數f（x）在（0，1）單調遞增，在（1，+∞）單調遞減故f（x）在x=1處取得極值．
∴a=1
（2）由（1）可知a=1
∴f（x）=

1+lnx

x

∴f′（x）=-

lnx

x2

設切點A（x₀，y₀）
∴k=f′（x₀）=-

Inx0

x 2 0

又∵k=k_OA=

1+lnx0

x02

∴

1+Inx0

x 2 0

=-

Inx0

x 2 0

∴lnx₀=-

1

2

∴x0= e-

1

2

∴k=k_OA=

1+lnx0

x02

=

1- 1 2

(e- 1 2 )2

=

e

2

點評：本題主要考查了函數極值的概念已及導數的幾何意義的應用，屬常考題，較難．解題的關鍵是在第二問中根據直線y=kx與函數y=f（x）的圖象相切和導數的幾何意義得出k=f′（x₀）而直線y=kx有過原點故k=k_OA從而建立了關于x₀的等式

1+Inx0

x 2 0

=-

Inx0

x 2 0

但要注意x₀＞0！