Question

根據指令，機器人在平面上能完成下列動作：先從原點O沿正東偏北α(0≤α≤

π

2

)方向行走一段時間后，再向正北方向行走一段時間，但何時改變方向不定．假定機器人行走速度為10米/分鐘，則機器人行走2分鐘時的可能落點區域面積為

100π-200

．

Answer 1

分析：設改變方向的點為M，過M作x軸的垂線，垂足為N，根據速度和時間求出|OM|+|PM|的長，在△OPM中然后根據三角形的兩邊之和大于第三邊列出一個不等式，然后在△OMN中，根據兩邊之和大于第三邊列出另外一個不等式，然后再根據x大于等于0，y大于等于0，在平面直角坐標系中畫出相應的平面區域為一個弓形，如圖所示，利用四分之一圓的面積減去等腰直角三角形的面積即可求出弓形的面積．

解答：解：設改變方向的點為M，
依題意|OM|+|MP|=10×2=20米，
△OPM中，|OM|+|MP|≥|OP|（當O、M、P共線時“=”成立），
∴|OP|≤20，即x²+y²≤400，
又△OMN中，|OM|≤|ON|+|MN|（當O、M、N共線時“=”成立），
∴|OM|+|MP|≤|ON|+|MN|+|MP|=x+y，
∴x+y≥20
∴區域S：

x2+y2≤400 x+y≥20 x≥0 y≥0

為弓形，
則面積為

1

4

π×20²-

1

2

×20×20=100π-200．
故答案為：100π-200．

點評：本題考查的知識點是扇形面積公式\二元一次不等式（組）與平面區域．根據三角形的性質，判斷邊與邊之間的關鍵是解答本題的關鍵．