Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=4，AB=2．點M為PD中點．
（1）求證：平面ABM⊥平面PCD；
（2）求直線PC與平面ABM所成角的正弦值．

Answer 1

分析：（1）要證平面ABM⊥平面PCD，只需證明平面PCD內的直線PD，垂直平面PAD內的兩條相交直線BM、AB即可；
（2）平面ABM與PC交于點N，說明∠PNM就是PC與平面ABM所成的角，然后解三角形，求直線PC與平面ABM所成的角；

解答：證明：（1）∵PA=AD=4，點M為PD中點，∴AM⊥PD
因為PA⊥平面ABCD，則PA⊥AB，又AB⊥AD，
所以AB⊥平面PAD，則AB⊥PD，
因此有PD⊥平面ABM，所以平面ABM⊥平面PCD
（2）設平面ABM與PC交于點N，
因為AB∥CD，所以AB∥平面PCD，則AB∥MN∥CD，
由（1）知，PD⊥平面ABM，則MN是PN在平面ABM上的射影，
所以∠PNM就是PC與平面ABM所成的角，且∠PNM=∠PCD，tan∠PNM=tan∠PCD=

PD

DC

=2

2

，∴sin∠PNM=

2 2

3

點評：本題考查了線面平行的判定定理，面面垂直的判定定理等知識點；注意線線平行，線面平行，面面平行的轉化，同樣注意線線垂直，線面垂直的轉化；找平行時運用了平行四邊形，中位線，找垂直時運用了矩形，三角形的高線，線面垂直的定義性質等．