Question

【題目】在正方體中，E是棱的中點.

(1)畫出平面與平面的交線；

(2)在棱上是否存在一點F，使得∥平面若存在,指明點F的位置；若不存在,請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）存在，證明見解析

【解析】

（1）延長與交于點，連接即為所求；（2）存在，分別取C1D1和CD的中點F，G，連接EG，BG，CD1，FG，通過證明EG∥A1B可得四點共面，根據正方體的性質得到B1F∥BG，根據線面平行判定定理即可得結論.

（1）延長與交于點，連接，

由于，∴，，

又∵，∴為面和面的公共點，

同時也為面和面的公共點，

根據公理3可得為平面與平面的交線.

（2）存在，當為的中點時，滿足題意，理由如下，如圖所示，

分別取C1D1和CD的中點F，G，連接EG，BG，CD1，FG，

因為A1D1∥B1C1∥BC，且A1D1=BC，所以四邊形A1BCD1為平行四邊形，

因此D1C∥A1B，

又E，G分別為D1D，CD的中點，所以EG∥D1C，從而EG∥A1B，

這說明A1，B，G，E共面，所以平面A1BE，

由正方體的性質易知B1F∥BG，而平面A1BE，

故B1F∥平面A1BE.